ブルバキとランダウ

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数学原論(その14)

 現在2019年11月8日14時11分である。

麻友「比較的早い時間から、始めたわね」

私「昨日は、たった2ページしかできなかったから、残念だったんだ」

麻友「でも、2ページくらいの方が、読む方は、疲れずに済むわ」

私「じゃあ、今日も、2ページにしようか?」

若菜「その方が、助かります」

結弦「前回、文章の途中で切ったから、少し回想させて」

私「分かった。ノート23ページから、


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結弦「『勘』の振り仮名の時刻は?」

私「2012.8.27 23:42 となっている」

若菜「2018年にも、読んでいるんですね」

私「じゃあ、今日のページに進もう」

麻友「24ページね」


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麻友「なんか、ごちゃごちゃと、上の方に書いてあるけど」

私「これは、もの凄く重要なことなんだ。まず、ブルバキの本文に、アンダーラインが、引いてあるだろう。この部分だ。


数学の文章の正しさの判定は、形式化された言語との、多かれ少なかれ具体的な比較対照によるのである。


そして、私が、線を引っ張って、ノートの上の余白に、


これが、ブルバキの『正しい』ということの定義であり、私が大学時代に到達した定義でもあった。

                      2018.8.5 20:02:45


と、書いている」

若菜「これが、ブルバキの『正しい』の定義って、結局どういうことですか?」

私「そう。どんどん、聞いてこい。ここで言っているのは、たとえば、1から100まで、整数をひとつずつ足したら、いくつだろう? という問題が、あったとしよう。これは、いくつになる?」

結弦「ガウスが小学生のとき、一瞬で解いた問題だよね。1から100を、反転させて、100から1にする。そして、101+101+・・・+101と、101が100個だから、10100。でも、ガウスは賢かった。2回、1から100をたしているのだから、2で割らないといけない。10000の半分5000と、100の半分50で、答えは、5050」

私「そうだな。確かに、結弦のは、証明になってる。でも、これが、正しいということを、証明できるか?」

結弦「ゲッ、正しいことを、証明しろだって? そんなの無理だよ」

私「ここで、ブルバキが論じているのは、そういうことだ。麻友さんにでさえ、付いてこられないかも知れないけど、ちょっと、形式化された言語というのを、見せよう」

若菜「これから、学んでいくものですか?」

私「そう。ちょっと、やってみるよ。


{\displaystyle \sum_{n=1}^{4} n= 1+2+3+4}


というように、足し算をする記号を、定義する」

結弦「じゃあ、


{\displaystyle \sum_{n=1}^{5} n= 1+2+3+4+5}


ということ?」

私「そう」

麻友「右辺は、計算しないの?」

私「本当は、計算する。若菜と結弦、計算して」

若菜「はい。


{\displaystyle \sum_{n=1}^{4} n= 1+2+3+4=10}


です」

結弦「僕も、


{\displaystyle \sum_{n=1}^{5}n = 1+2+3+4+5=15}


だよ」

麻友「この上の4や、5を、100にするのね」

結弦「分かった。

{\displaystyle \sum_{n=1}^{100} n= 1+2+3+4+ \cdots +99+100=x}

として、

{\displaystyle \sum_{n=1}^{100}(101-n)= 100+99+98+97+  \cdots +2+1=x}

と、足し合わせる。そうすると、

{\displaystyle \sum_{n=1}^{100} n+\sum_{n=1}^{100}(101-n)= 2x}

となる。左辺は、・・・この記号なんて読むの?」

私「シグマと読む」

結弦「じゃあ、シグマの中を足し算して、

{\displaystyle \sum_{n=1}^{100}  \{n+(101-n) \}= 2x}

だから、

{\displaystyle \sum_{n=1}^{100} 101= 2x}

となって、101が100個。右辺は求めたい {x} が2倍になってるから、計算を簡単にするなら、100割る2で、101が50個とした方が良いね。50が100個と、50が1個で、結局5050だ」

麻友「シグマの右に、{n} が、全くなくてもいいの?」

私「どんどん聞いて。シグマの右に {n} がないと、シグマで足し合わせる数だけ、右の数字を足し合わせることになってる」


若菜「ちょっと、計算をしましたね」

私「この例からも分かるように、数学では、なるべく記号を使って、間違いが起こらないようにしている。これが、形式化された言語というものだ」

麻友「形式化とは、記号化ということ?」

私「まさに、その通りだよ」

若菜「じゃあ、お父さんは、大学時代に、その記号化するという方法で、数学を築けると、悟ったのですね」

私「そう。ただ、記号化するというのを、全数学に徹底するのには、なかなか成功しなかった」

麻友「まだ、成功してないんでしょ?」

私「本当は、そうだ」

結弦「このブルバキだって、そのためにあるんだろう?」

私「そういうことだ。協力してくれ」

結弦「じゃあ、次のページ」


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若菜「普通の空間にも、ヒルベルト空間にも、その他の様々な空間にも、って、普通じゃない空間って、どんな空間ですか?」

私「麻友さんに、相対性理論のブログで、『大圏コース』という題で話した、2次元の球面とかも、普通でない空間だし、これから『場の量子論を制覇しよう!』やっていくと、ヒルベルト空間とか、フォック空間とか、出てくる。楽しみにしてて」

結弦「このページの最後の(第4章)で出てくる言葉って、何?」

私「ああ、これ、構造(こうぞう)というもの。実は、この構造というものを使って、ブルバキは、数学を、整理したんだけど、この構造という概念より、圏と関手、という概念を使った方が、よりかっこよく、数学を記述できるんだ」

結弦「どうして、ブルバキは、圏を、使わなかったの?」

私「ブルバキが、『数学原論』書き始めた頃には、なかったんだよ。圏も関手も」

結弦「つまり、ブルバキは、時代遅れということか」

私「私が、改良しようと、思ってる。こんな本を、読んで」

圏論の歩き方

圏論の歩き方

  • 発売日: 2015/09/09
  • メディア: 単行本

麻友「それ、『女の人のところへ来たドラえもん』のブログの第3回目くらいでも、読んでると言ってた」

私「よく、覚えていたね。あっちこっち、読んでるんだ。とても、理解できるレヴェルではないので」

麻友「そんなに、難しいの?」

私「まえがきに、この本について、


・情報処理能力をはるかに超えた量の情報の洪水と、

・トライ・アンド・エラーの機会

という、コトバを習得するうえで有益だと思われる二つのことに力点を置いた「圏論の入門書」、ということになります。


と、書いてあるくらいだから」

結弦「そっちのほうを、読みたいくらいだな」

私「そういうだろうと思って、ブルバキの第4章、訳本では、『集合論 3』を、読む頃には、私が、説明できるように、なっているつもりだ」


若菜「取り敢えず、今日は、ここまでですね。2ページくらいなら、読みにくい写真ですが、なんとか、読めます。この後、数学の本文は、どうするつもりですか?」

私「全部、数式は、{\TeX} で打つつもりだ」

麻友「ある意味、財産ね」

結弦「そっか、ブルバキの数学を、全部{\TeX} で持ってることになるのだものな」

若菜「それだけでも、『ウソをつかない数学』というゲームの内容を、ほとんど尽くせますね」

結弦「ゲームは、やっぱりストーリーが面白くないと、楽しくないよな。お父さん、どれくらい、構想しているの?」

私「2歳くらいの子供が、スマホたたいているうちに、ドラえもんホログラフィーが出てくるのは、良い。だけど、その子と、算数を楽しむというのを、どうやったらいいかは、ちょっと創造の泉が枯れてる」

若菜「もっと、10歳くらいの子供を、ターゲットにしたのから、作り始めたら、どうですか? それが、結局、背伸びしている幼稚園生にも、受け入れられることになって、世界中に広まる」

私「そうだね。10歳か、私が、選挙権を与えてはどうか? と言っている年齢だね。小学校4年生というと、・・・」

私「えー!」

麻友「どうしたの?」

私「今、文部科学省の学習指導要領を、チェックしてたんだ。2017年度のによると、面積とか体積などの私が6年生の頃に習ったことを、3年生くらいで、教えている。一方、5年生か6年生で習った、素数という概念は、中学校へ送られている」

結弦「多分、お父さんは、37年も前なんだから、完全に、リセットして考えないと、子供に受けないよ」

私「そうだね。何を話しても、新しいことを話しているんだ、という意識を持ってなきゃだめだね」

麻友「じゃあ、今日は、ここまでね」

私「じゃあ、解散」



麻友「太郎さん。最近の病状は、どうなの?」

私「先日の伊豆への旅行は、父も意地悪せず、快適に過ごせた。スピーカーを、使ってあげて、スピーカーも、喜んだだろう」

麻友「太郎さんは、そのスピーカーに未練がないということは、将来、あの150万円のスピーカーを、欲しいから?」

私「前にも言ったけど、麻友さんを失うようなことになる買い物は、しないよ」

麻友「昼間の眠さは?」

私「これ、良く分からない。5時くらいから、目がらんらんと冴えていることもあれば、今日のように、12時54分まで、寝ていることもある。これだから、仕事は、引き受けられない」

麻友「難しいわね。京都大学を辛くも卒業しても、公認会計士になった友達や、大学院の博士課程で、病気で挫折しても、コンサルタントになった友達や、本当に数学者になった友達もいるのに、太郎さんだけ、経済的に自立できないから、結婚もできないなんて」

私「あれっ、それは、違うよ。私が、結婚できないのは、経済的に自立できないからではなく、麻友さんが、結婚に、縦に首を振ってくれないからだよ」

麻友「もう。私と結婚なんて、諦めて」

私「こればっかりは、諦められない。結婚という言葉の意味を変えてでも、結婚する」

麻友「太郎さんって、どこまで、頑固なの?」

私「例えば、最初に精神科に入院したとき、12月31日に、ぺんてるのシャープペンの替え芯を、3つ買った」

麻友「あら、あの替え芯なんて、40本くらいあるから、1年以上もつのに」

私「だけど、お正月休み中に、なくなったら大変と、3つも買ったのだ。このときは、HBだった」

麻友「そういえば、今は、Fを使ってるって」

私「そうなんだ。退院してきて、1月28日、横浜の有隣堂へ行き、シャープペンを本気で使うなら、シャープペンの芯も、Fにしようと、思った」

麻友「なぜ、Fにしようと、思ったの?」

私「人間って、イメージというのが、もの凄く大切だよね。幼稚園の頃読んだ本に、『鉛筆には、軟らかい方から、6B、5B,4B、・・・とあって、2B、B、HB、H、2H、3H、・・・、8H、9Hまで、あります。そしてもうひとつ、HBとHの間の硬さのFというものがあります。Fは、上品な鉛筆です』と、書いてあったんだ」

麻友「上品な鉛筆って、何よ。それに、それまでは、Hの鉛筆、使ってたんでしょ」

私「確かにそう。でも、Hi-uniのシャープの芯を見たとき、幼稚園のときのそのフレーズを思い出して、Fを買ってきたんだ。何百円も違うものでも、ないからね」

麻友「太郎さんって、そういう隠れたお洒落をする人なんだ」

私「結果的に、そうなった。それで、頑固だというのは、Fを、買ってきた以上、ぺんてるのHBの芯を、使うわけには、行かない。だが、3ケースも買ってきて、余りにももったいない。そこで、クルトガの一番使う一本にだけ、Fを入れ、それ以外のシャーペンを全部、ぺんてるのHBに変えた」

麻友「拘るのね」

私「ここまでなら、頑固というほどではない。それから3年半後、2018年の10月に入院したとき、やはりシャープペンがなくて、病院の5階のファミリーマートで、10月31日、PILOTのシャーペンと、Bの芯を、買った」

麻友「PILOTしか、なかったの?」

私「なぜか、ファミリーマートには、クルトガがない。そして、Bの芯まで買わされてしまった」

麻友「それで、退院後は?」

私「PILOTのシャーペンは、リュックの常備品として、Bの芯と共に、常に持っている。だが、通常『麻友』のノートには、Fの芯の入った、プリン君のクルトガで、4年半前の、1,980円の麻友さんの下敷きを敷いて、書いている。これは、変わらない」

麻友「確かに、4年半の間に、3回も精神科に入院して、色んな事あったのに、ずっとFの芯使い続けてる。もう使い切ったケースあるんでしょう?」

私「先月の終わり、2ケース目が、空になった」

麻友「それだけ、使ってあげれば、喜んでいるでしょう」

私「一度、これが良いとなると、なかなか変えない。頑固と言えば、頑固だ」

麻友「でも、女の人が相手の場合、退くべきときは、退くのが、マナーよ」

私「無茶はしない。でも、麻友さんのこと、本当に、好きなんだ。今日、この投稿を読んだら、私のブログのプロフィールをもう一度読んでごらん、変わっているから」

麻友「まあ、今日は、寝なさい。おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2019年11月8日21時43分である。おしまい。