ブルバキとランダウ

世界水準の数学と物理学の説明を試みます。ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。

数学原論(その10)

 現在2019年6月21日18時46分である。

「えっ、ブルバキ、連投? 『現代論理学』やってからじゃ、なかったの?」

 少し、強引に、進めないと、麻友さんが、面白いと思えるほどの、内容のある数学にならない。

若菜「女の人に、強引に迫るというのは、良くありませんが、数学に迫るなら、いいかもです」

結弦「本当に、面白いの?」

 まあ、読んでみなって。

 1ページ目。

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結弦「この本に書いてあることをそのままの形で受け入れていくことが、結局は一番の近道であると思う。って、書いてあるよ。でも、それが唯一無二の方法であるわけでもなく、とか、どうなってるんだ?」

若菜「ああ、きっと、訳すときに、すごく困ったのでしょうね。こんなこと書いても、読者わからないだろうなって」

「太郎さんは、どうだったの?」

 この『第1章を読むための注意』を、テキストでは、4ページ、ノートで8ページ写して、その次にある、『序』に、1ページ入ったところで、2005年の初登頂の試みは、ついえる。

「正直なところを、言って欲しいわ。これは、今の太郎さんに、説明できるの?」

 大丈夫だよ。

若菜「凄い自信ですね。2005年には、これで、挫折したのに」

 私が、1回目、『序』で、挫折してから、何回アタックしたことか。

結弦「もうちょっと、ノートを見てみるか」

 よし。

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結弦「以下に簡単に述べた解説は読む必要のないものでもあるし、また読まれたにしても、第1章を読まれるときには、もう一度はじめから出なおしということにしていただきたい、とか、とんでもないこと、言ってる」

 それだけ、ブルバキが、レヴェルが高いんだ。

「『第1章に論理的根拠を与えたものではない』という部分に太郎さんが、アンダーラインを引いて、何かメモしてるけど、読めないわ」

『つまり、意味論と同値であることを、証明したわけではないということ。 2018.8.4 18:10:23』

と、メモしてる。

「太郎さん、読めるの?」

若菜「お父さんは、オリジナルのノートを、見てます」

結弦「当然だな」

「それで、意味論と同値って?」

 これから、『現代論理学』でやることは、『現代論理学』の第1章で、命題論理と呼ばれる、{\exists}イグジスト)(存在する)という記号や、{\forall} (エニ)(任意の)という2つの記号のない、{A \Rightarrow B} や、{A \wedge B} などの記号だけの、論理学で、正しいか正しくないかを問題にせずに、形式的に、記号を意味を考えずに扱う立場、それを、構文論(syntax)というんだけど、その構文論ともうひとつ、意味を考える、意味論(semantics)というものがあるんだけど、その両方が、同じ結果を与えるということを、証明するんだ。

若菜「なんか、とんでもない、試みですね。そうすると、第2章では、{\exists} や、{\forall} が、加わった論理学でも、構文論と意味論が、同値になることを、証明しないと、気が済まないですね」

 良く分かったな。それを、第1階の述語論理という。

 その第1階の述語論理でも、構文論と意味論の同値性が、証明できる。記号論理学の、最初の華々しい成果だ。

 そのことを、『第1章を読むための注意』で、証明してあるわけではないから、ブルバキの第1章に書いてあることが、意味を考えても、正しいということを、証明して、ブルバキが正しいということの根拠を与えたわけではない、と訳者が言っているのだな、と、私が思ったということ。

「太郎さんが、思ったのか。その証明は、どこにあるの?」

 私が、読んだ限り、第1章にその証明はない。

若菜「それは、ブルバキとしたことが、片手落ちでは?」

 いや、数学で、意味論を論じなくても、許されることは、許されるんだ。『数学基礎概説』は、構文論だけしか、書いてない。私は、『現代論理学』を読むまで、意味論は、知らなかった。

結弦「お父さんの知っていることの、限界というのも、あるんだな」


 少し、進めてみよう。

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「太郎さんの青いボールペンで、書いてあることは、何?」

 ああ、これは、どうでもいいことだ。

 句読点の句点を、打たなくて良いとか、言ってるだけだ。

「2014年にも、ここを、丁寧に読んでいるということね」

 元の字は、2005年のものだから、私が、HのHi-uniの鉛筆で、書いたものだろう。2014年4月の青いボールペンは、入院する前だから、ゲルインキボールペンの青で、書いたものだろう。2018年のは、去年だから、麻友さんの下敷きを敷いて、この前、壊れちゃった、紺色のクルトガのシャーペンで、Hi-uniのFの芯で、書いたもののはずだ。

若菜「nonって、フランス語ですか?」

 まあ、そうだけど、英語でも、『ノン-フィクション』とか、言うよね。

結弦「et は、かつ、ou は、または、とか、かな?」

 数学は、言葉が少ないから、『数学原論』の本文に入ったら、フランス語の原書も、引用できるかも知れない。

 『星の王子さま』も、読めないけど、フランス語の数学の論文なら、読めると言っていた、数学者もいた。

若菜「{A \Rightarrow B} と、{(nonA) ou B} が、なぜ同じなんですか?」

 これは、結構、難しいんだ。

 真偽表というものを、書かないと、理解しにくい。

 まず、{A}{B} が、それぞれ、正しい(◯)か、正しくない(✕)かの、どちらかで、あるとしよう。

{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\
\bigcirc &\bigcirc &&&&\\
\bigcirc & \times &&&&\\
\times & \bigcirc &&&&\\
\times & \times &&&&\\
\end{array}}

という表の、{A}{B} が、それぞれ正しい(◯)か、正しくない(✕)のとき、表の右の空欄を、埋められるか?

結弦「{A \Rightarrow B} は、{A} が成り立てば、 {B} が成り立つなんでしょ。だったら、{A} が成り立って、{B} も成り立ってる場合は、正しいことを言ってることになるから、{A \Rightarrow B} のすぐ下は、◯だ」

若菜「同じように考えると、{A} が成り立っているのに、{B} が成り立たない場合は、{A \Rightarrow B} は、正しくないことを言ってるので、✕ですね」

{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\
\bigcirc &\bigcirc & \bigcirc &&&\\
\bigcirc & \times & \times &&&\\
\times & \bigcirc &&&&\\
\times & \times &&&&\\
\end{array}}


「ほらほら、こうなるのよ。私が、難しい問題を、解かされる。{A} が、成り立たない場合なんて、{A \Rightarrow B} は、どう考えればいいのよ。太郎さん」

 うん。特待生でも、解けないか。条件を、丁寧に、チェックする。{A \Rightarrow B} は、{A} が、成り立つ場合のことを、書いてる。だから、{A} が成り立たないなら、問題はなく、スルーできる。

「スルーするって、この場合、どうすること?」

 ◯にするってこと。

「えっ、でも、✕の可能性は?」

 ✕に、できないだろ。

「✕にできないから、◯にするって、いつもの太郎さんののんきな判断で、良いのかしら。他の論理学の本、見てみようかしら?」

 やめた方が良い。

 先日、相対性理論のブログの『プリン君のシャーペン』という投稿で、読んでいると書いた、『直観主義集合論

竹内外史直観主義集合論』(紀伊國屋書店

OD>直観主義的集合論 (紀伊國屋数学叢書 20)

OD>直観主義的集合論 (紀伊國屋数学叢書 20)

は、日本で唯一の、いや世界でも珍しい、直観主義集合論の本で、そこでは、

『Aが正しい』

ということを、

『Aを確認する方法をもっている』

と、捉え直すことで、新しい数学を、作っている。

 だから、その本では、

{A \rightarrow B}

は、

『Aを確認する方法が与えられたときに,その方法をもとにしてBを確認する方法を作る方法をもっている』

と定義される。

 思いっきり書いちゃうけど、

{(\neg A \vee B) \Longrightarrow (A \rightarrow B)}

は、成立するけど、

{(A \rightarrow B) \Longrightarrow (\neg A \vee B)}

は必ずしも成立しない。

「そうなると、どうなるの?」

 本当に、否定の否定が肯定にならない論理となる。

若菜「どうして、そんな本読んでたんですか?」

 自分のやっている数学が、本当に、真理を穿ったものだろうかと、ちょっと、心配だったんだ。

結弦「でも、数学自体が、矛盾するとか、そういうことは、ないんでしょ」

 おお、良いこと言うじゃないか。ブルバキは、数学自体が矛盾するということに対して、どういう意見だったか、『第1章を読むための注意』の後の、『序』の最後に、ブルバキの見解がある。

若菜「楽しみですね」

「さっきの {\rightarrow} と、{\Longrightarrow} の違いは?」

 {\rightarrow} の方は、私達が、『現代論理学』を読んで行くときや、NKとBGの要約の中の私の記述での {\Rightarrow} と、同じ使われ方をしていて、{\Longrightarrow} の方は、{A \Longrightarrow B} が、正しいという主張のときだけ、使うのだと、竹内外史さんが、書いている。

「なんだ、太郎さんも、分かってないのか」

 完璧には、分かってない。

 いずれにせよ、排中律という、{A \vee \neg A} という {A} か、または、その否定 {\neg A} というものの、どちらかが成り立つと仮定しないと、数学は翼を持って、飛ぶことができない。

『翼はいらない』

という歌もあったけど、麻友さんのように、

♪その背中に、夢の翼(はね)が、生えてる

人達は、どんどん飛翔して、上から全体像をつかめ。


「そうだとすると、

{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\
\bigcirc &\bigcirc & \bigcirc &&&\\
\bigcirc & \times & \times &&&\\
\times & \bigcirc & \bigcirc &&&\\
\times & \times & \bigcirc &&&\\
\end{array}}

と、なるわね」

 結弦、次の2行、埋めてみろ。

結弦「こんなの、簡単」

{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\
\bigcirc &\bigcirc & \bigcirc & \times &  \bigcirc &\\
\bigcirc & \times & \times & \times & \times &\\
\times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc &\\
\times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times &\\
\end{array}}

 じゃあ、若菜。最後の行。

若菜「はい。どっちかが◯なら◯を付けて良いんですね」

{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\
\bigcirc &\bigcirc & \bigcirc & \times &  \bigcirc & \bigcirc \\
\bigcirc & \times & \times & \times & \times & \times \\
\times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\
\times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc \\
\end{array}}

 おお、できたな。

「これで、何をやりたかったの?」

 若菜の

{A \Rightarrow B} と、{(nonA) ou B} が、なぜ同じなんですか?』

という問いに答えるのが、目標だった。

 若菜、最後の行、埋めて、何か感じなかったか?

若菜「最後の行の、◯✕の並びが、{A \Rightarrow B} と、まったく同じです。だから、この2つを、同じとして良いんだと分かりました」

 お母さんに似て、賢い子だ。


「じゃあ、問題が解決したところで、どんどん、進みましょ」

 よしきた。

f:id:PASTORALE:20190621202844j:plain

 これは、注記の字が、ノートの向こうのページにまたがっているので、もう1ページ。

f:id:PASTORALE:20190621203503j:plain

若菜「お父さんも、ここが、分からなかったようですね」

「2018年8月4日18時26分30秒に、『←まだ分かってなかったな』と、書き記してるわね。何が、分からなかったの?」

 ブルバキが、ここで、{(\exists x)R} という『Rを成立させるxが存在する』という記号の定義を、分かりにくいやり方で、やってるんだ。2005年に読んだときも、分からなかったし、2006年も、2009年も、2012年も、2014年も、2015年も、2017年も、分からなかった。霧がかかったようになっていたのが、晴れたのは、2018年。


 ちょっと、21時過ぎちゃって、眠いから、この続きは、明日書くね。


 現在2019年6月21日21時12分である。中断。



 現在2019年6月22日15時44分である。

 今日は、本当は、11時頃から、書き始めていた。

「真偽表を入れるのに、苦労したのよね」

 またひとつ、{\TeX} の手法を、身につけた。

結弦「『Rを成立させるxが存在する』という記号の定義を、分かりにくいやりかたで、やっているって、そもそも、『Rを成立させるxが存在する』って、なんですか?」

 この場合、Rは、{(x>0) \wedge (x<1)} みたいな式なんだよ。

結弦「だったら、{0.5} とか、存在するから、Rを成立させるxが、存在するな」

若菜「そんなに、甘くないんじゃない?」

結弦「どういうこと?」

若菜「考える数が、整数だけだったりしたら?」

結弦「あっ、そうか」

 結弦のようなことも含めて、{\exists} が、出てくると、論理学が、一気に難しくなる。

 『{(\exists x)R}』は、『{R} が成立するような {x} が存在する』

という意味を、表すとする。そうなると、

{non((\exists x)non R)}

は、どういう意味だ?

結弦「{x} が存在して、{R} でない、が、成立しない」

若菜「つまり、{R} でなくなる {x} が、存在しない。つまり、すべての {x} で、{R} が、成立する」

「それを、{(\forall x)R} と、表す訳ね」

結弦「あっ、持ってかれた」

 3人の合わせ技で、{\forall} の方も、分かったな。

 ところで、ブルバキは、{(\exists x)R} という表し方で、満足しなかった。

結弦「どういうこと?」

 {\tau} という記号を、持ち出し、『{R}』について、『{R}』を満たす、『{x}』が、ひとつでもあったら、そのような『{x}』のひとつを、『{\tau_x R}』と、表すことにした。

「そのような『{x}』のひとつって、どれかに、特定しないの?」

 どれに、特定するかは、その場で決めることとなる。

 ただ、1度特定したら、以後は、フラフラと変えたりはしない。

 まあ、ここまでは、分かるんだ。

 次が、分からない。

「どういう取り決め?」

 『{R}』を満たす、『{x}』が、ひとつもなかったら、『{\tau_x R}』は何でも良い、何かひとつの対象を表すということに、しておく。

と、決めてるんだ。

若菜「何でも良いって、無責任じゃないですか」

 そう。そこで、私も、良く分からなかった。でも、{\exists} が、出てくるのは、第4節からなので、分からないけど、取り敢えず写して、先に進むことにした。

若菜「気持ち悪くないですか?」

 ただ、数学の文献で、気持ち悪いから、進めない、をやってると、ほとんどの文献が読めなくなる。

「でも、太郎さんは、ここに関して、2018年に、克服してるのよね」

 うん。

 ゆっくり考えよう。

 まず、

{(\exists x)R}

が、成り立つとしよう。

 つまり、{R} を満たす、{x} が、存在する。

 そうすると、そういうものの1つを、{\tau_x R} と、表せる。

 ここで、ブルバキは、{R}{x} を、{\tau_x R} で、置き換えることを、

{(\tau_x R|x) R}

と、表すと約束した。

 つまり、{R} の中の、{x} を、全部、{\tau_x R} で、置き換えたわけである。

 そして、{R} を満たす、{x} の、ひとつを、{\tau_x R} としたのであったから、

{(\tau_x R|x) R}

が、成り立っていることは、ある意味、今は、当然である。

 式で書くと、

{(\exists x)R \Rightarrow (\tau_x R|x) R}

が、分かった。

 今度は、逆に、{(\tau_x R|x) R} が、成り立っているとしよう。

 {R} を満たす、{x} が、なかったとしたら、{\tau_x R} は、何でも良い、ひとつの対象ということになっていた。

 何か、不都合なことが、起きるのではないか?

 私も、ずっと気がかりだった。

 だけど、

{(\tau_x R|x) R} が、成り立っている』

ということは、{R}{x}{\tau_x R} を代入したものが、成り立っているということなのだ。

「あっ、分かった。{R}{x} に代入して、成立するものが、ちゃんと、あるということなんだ。だから、・・・」

結弦「取り返そう。{(\tau_x R|x) R} ならば、{R} を満たす、{x} が、存在する。つまり、{(\exists x)R} なんだ」

若菜「まとめると、{(\exists x)R \Longleftrightarrow (\tau_x R|x) R} が、証明されたのね」

 この事実に鑑み、ブルバキは、

{(\exists x)R} とは {(\tau_x R|x) R} のことである』

と、定義する。

「あれっ、太郎さん。私達、分かっちゃったわよ」

若菜「お父さんが、『NKの要点』や、『BGの要点』で、言っている、選択公理云々は、関係ありませんでしたけど」

 見かけ上、普通の記号論理学と、同値な様に、見えるんだ。

 だけど、{R} を満たす{x} のひとつを、{\tau_x R} と表すことにすると言ってるけど、そんなものを、具体的に持ってこられるとは、限らないんだ。

結弦「具体的って?」

 それは、ドラえもんのブログで、真理のカメさんを、導入するとき、身にしみて分かるよ。

 あるものを、実際持ってこられるとは、そのものを与える、アルゴリズムを、示せるということに、なってくる」

「パソコンに詳しくない太郎さんが、アルゴリズムなんて、分かってるの?」

 ほとんど、わかってないけど、意味は、合ってると思う。

結弦「いや、アルゴリズムというものについては、僕たちの方が、分かってる。真理のカメさんって、作るアルゴリズムが、ないのか」

若菜「私達は、幼稚園の頃から、プログラミングを、習った世代ですからね。お父さんやお母さんとは、勝負にならないんですよ」

「21世紀初頭に、小学生でパソコンオタクだった私でも、かなわないなんて」


 さて、今、言ったことが、分かっていると、ノートが面白いように分かる。

「ちょっと待って、14ページの、かすれてるメモは?」

 {(T|x)R} が常に偽なら、上の命題は真。2018.8.4 18:21:56

というもので、この部分を、まだ完全に理解してなかったときのものだ。

「15ページの復習というのは?」

 」2017.12.22 14:06:00 復習

とあって、その日、ブルバキから離れるときのメモだ。

 次のページは、ちょっと、読みにくい。

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若菜「なんか、読者注)の中が、グチャグチャですけど」

 これを、解きほぐすと、


 読者注)

 {\tau_y \{\tau_x(x \in y) \in y \}} というのは、{x \in y} という関係を成立させるような {y} の1つを表すようだが、良く分からない.本文を読む時のお楽しみとしよう.


→分かった.{y} について {x \in y} となる {x}{\in y} となるよ、という当たり前のことを言い、{y} として、そういう性質を持つものを表させ、そうなる対象を {\tau_y} として表したのだ.従って集合論では {\emptyset} 以外の集合の1つだ. 2012.8.27 20:34


 上の、空集合 {\emptyset} から、線を引っ張って、さらに、次のように書いている。


 {\emptyset} 以外の任意の集合というのは、{\tau_y \{\bigcirc \in y \}} より、{y} が元を含むからである. 2012.8.27 22:57


若菜「ご本人にしか、復元できませんね」

 実は、この部分。私は、テキスト本文に、次のように書き込んでる。

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「lien というフランス語の単語の読み方ね。あっ、これ、電子辞書に積んだ、フランス語の辞書に、発音させたんでしょう」

 それを、言いたかったんだ。

 ちゃんと、役に立ってる。

 最後は、記号の整理が、行われる。

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 最後のページと、これを、読み終わった感想のページ。

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「あれっ、確か、この注意書きは、テキストで、4ページと、言ってたわね。でも、この後の『序』は、テキストで、8ページあると、書いてる。どんなものなのか、ちょっと、恐ろしいわね」

 フランス語原著で、『序』を進めるのを、やめた理由が分かるでしょ。

若菜「初めは、これ全部、フランス語でやるつもりだったんですか?」

結弦「僕らでなくたって、無理だと分かるよな」

「太郎さんって、そういう無謀な人なの。だから、私に恋したりするの」

 世界には、色んな人がいる。数学では、多様体は、manifold か variety なんだけど、小林りんさんが、提唱してるのは、diversity みたいだな。

 多様な人がいた方が、非常事態が訪れた時、色々な解決策を、生み出せる。

 ただ、万国共通な言葉、数学が、いやいや学ぶものであったとしたら、誰も、この試みに、賛同しないだろう。

 『フーリエの冒険』レヴェルで、満足するのでなく、まともな数学を、体感したい人のために、このブルバキへの登頂はある。

「まともな数学って、今の太郎さんにとって、これなのね」

 麻友さんには、楽をさせてあげるために、計算力を付けさせる。そのために、スマホで計算できるようなことは、どんどんやらせようと思う。

「私、それやらなきゃ、ダメ?」

 初めから、拒否するのは、よくない。

 まず、やってみてから。

「分かったわ。今日はもう、11,414文字になってる。おしまいにして」

 はい。バイバイ。

「バイバイ」

 現在2019年6月22日21時34分である。おしまい。