現在2019年6月21日18時46分である。
「えっ、ブルバキ、連投? 『現代論理学』やってからじゃ、なかったの?」
少し、強引に、進めないと、麻友さんが、面白いと思えるほどの、内容のある数学にならない。
若菜「女の人に、強引に迫るというのは、良くありませんが、数学に迫るなら、いいかもです」
結弦「本当に、面白いの?」
まあ、読んでみなって。
1ページ目。
結弦「この本に書いてあることをそのままの形で受け入れていくことが、結局は一番の近道であると思う。って、書いてあるよ。でも、それが唯一無二の方法であるわけでもなく、とか、どうなってるんだ?」
若菜「ああ、きっと、訳すときに、すごく困ったのでしょうね。こんなこと書いても、読者わからないだろうなって」
「太郎さんは、どうだったの?」
この『第1章を読むための注意』を、テキストでは、4ページ、ノートで8ページ写して、その次にある、『序』に、1ページ入ったところで、2005年の初登頂の試みは、ついえる。
「正直なところを、言って欲しいわ。これは、今の太郎さんに、説明できるの?」
大丈夫だよ。
若菜「凄い自信ですね。2005年には、これで、挫折したのに」
私が、1回目、『序』で、挫折してから、何回アタックしたことか。
結弦「もうちょっと、ノートを見てみるか」
よし。
結弦「以下に簡単に述べた解説は読む必要のないものでもあるし、また読まれたにしても、第1章を読まれるときには、もう一度はじめから出なおしということにしていただきたい、とか、とんでもないこと、言ってる」
それだけ、ブルバキが、レヴェルが高いんだ。
「『第1章に論理的根拠を与えたものではない』という部分に太郎さんが、アンダーラインを引いて、何かメモしてるけど、読めないわ」
『つまり、意味論と同値であることを、証明したわけではないということ。 2018.8.4 18:10:23』
と、メモしてる。
「太郎さん、読めるの?」
若菜「お父さんは、オリジナルのノートを、見てます」
結弦「当然だな」
「それで、意味論と同値って?」
これから、『現代論理学』でやることは、『現代論理学』の第1章で、命題論理と呼ばれる、 (イグジスト)(存在する)という記号や、 (エニ)(任意の)という2つの記号のない、 や、 などの記号だけの、論理学で、正しいか正しくないかを問題にせずに、形式的に、記号を意味を考えずに扱う立場、それを、構文論(syntax)というんだけど、その構文論ともうひとつ、意味を考える、意味論(semantics)というものがあるんだけど、その両方が、同じ結果を与えるということを、証明するんだ。
若菜「なんか、とんでもない、試みですね。そうすると、第2章では、 や、 が、加わった論理学でも、構文論と意味論が、同値になることを、証明しないと、気が済まないですね」
良く分かったな。それを、第1階の述語論理という。
その第1階の述語論理でも、構文論と意味論の同値性が、証明できる。記号論理学の、最初の華々しい成果だ。
そのことを、『第1章を読むための注意』で、証明してあるわけではないから、ブルバキの第1章に書いてあることが、意味を考えても、正しいということを、証明して、ブルバキが正しいということの根拠を与えたわけではない、と訳者が言っているのだな、と、私が思ったということ。
「太郎さんが、思ったのか。その証明は、どこにあるの?」
私が、読んだ限り、第1章にその証明はない。
若菜「それは、ブルバキとしたことが、片手落ちでは?」
いや、数学で、意味論を論じなくても、許されることは、許されるんだ。『数学基礎概説』は、構文論だけしか、書いてない。私は、『現代論理学』を読むまで、意味論は、知らなかった。
結弦「お父さんの知っていることの、限界というのも、あるんだな」
少し、進めてみよう。
「太郎さんの青いボールペンで、書いてあることは、何?」
ああ、これは、どうでもいいことだ。
句読点の句点を、打たなくて良いとか、言ってるだけだ。
「2014年にも、ここを、丁寧に読んでいるということね」
元の字は、2005年のものだから、私が、HのHi-uniの鉛筆で、書いたものだろう。2014年4月の青いボールペンは、入院する前だから、ゲルインキボールペンの青で、書いたものだろう。2018年のは、去年だから、麻友さんの下敷きを敷いて、この前、壊れちゃった、紺色のクルトガのシャーペンで、Hi-uniのFの芯で、書いたもののはずだ。
若菜「nonって、フランス語ですか?」
まあ、そうだけど、英語でも、『ノン-フィクション』とか、言うよね。
結弦「et は、かつ、ou は、または、とか、かな?」
数学は、言葉が少ないから、『数学原論』の本文に入ったら、フランス語の原書も、引用できるかも知れない。
『星の王子さま』も、読めないけど、フランス語の数学の論文なら、読めると言っていた、数学者もいた。
若菜「 と、 が、なぜ同じなんですか?」
これは、結構、難しいんだ。
真偽表というものを、書かないと、理解しにくい。
まず、 と が、それぞれ、正しい(◯)か、正しくない(✕)かの、どちらかで、あるとしよう。
という表の、 と が、それぞれ正しい(◯)か、正しくない(✕)のとき、表の右の空欄を、埋められるか?
結弦「 は、 が成り立てば、 が成り立つなんでしょ。だったら、 が成り立って、 も成り立ってる場合は、正しいことを言ってることになるから、 のすぐ下は、◯だ」
若菜「同じように考えると、 が成り立っているのに、 が成り立たない場合は、 は、正しくないことを言ってるので、✕ですね」
「ほらほら、こうなるのよ。私が、難しい問題を、解かされる。 が、成り立たない場合なんて、 は、どう考えればいいのよ。太郎さん」
うん。特待生でも、解けないか。条件を、丁寧に、チェックする。 は、 が、成り立つ場合のことを、書いてる。だから、 が成り立たないなら、問題はなく、スルーできる。
「スルーするって、この場合、どうすること?」
◯にするってこと。
「えっ、でも、✕の可能性は?」
✕に、できないだろ。
「✕にできないから、◯にするって、いつもの太郎さんののんきな判断で、良いのかしら。他の論理学の本、見てみようかしら?」
やめた方が良い。
先日、相対性理論のブログの『プリン君のシャーペン』という投稿で、読んでいると書いた、『直観主義的集合論』
は、日本で唯一の、いや世界でも珍しい、直観主義的集合論の本で、そこでは、
『Aが正しい』
ということを、
『Aを確認する方法をもっている』
と、捉え直すことで、新しい数学を、作っている。
だから、その本では、
は、
『Aを確認する方法が与えられたときに,その方法をもとにしてBを確認する方法を作る方法をもっている』
と定義される。
思いっきり書いちゃうけど、
は、成立するけど、
は必ずしも成立しない。
「そうなると、どうなるの?」
本当に、否定の否定が肯定にならない論理となる。
若菜「どうして、そんな本読んでたんですか?」
自分のやっている数学が、本当に、真理を穿ったものだろうかと、ちょっと、心配だったんだ。
結弦「でも、数学自体が、矛盾するとか、そういうことは、ないんでしょ」
おお、良いこと言うじゃないか。ブルバキは、数学自体が矛盾するということに対して、どういう意見だったか、『第1章を読むための注意』の後の、『序』の最後に、ブルバキの見解がある。
若菜「楽しみですね」
「さっきの と、 の違いは?」
の方は、私達が、『現代論理学』を読んで行くときや、NKとBGの要約の中の私の記述での と、同じ使われ方をしていて、 の方は、 が、正しいという主張のときだけ、使うのだと、竹内外史さんが、書いている。
「なんだ、太郎さんも、分かってないのか」
完璧には、分かってない。
いずれにせよ、排中律という、 という か、または、その否定 というものの、どちらかが成り立つと仮定しないと、数学は翼を持って、飛ぶことができない。
『翼はいらない』
という歌もあったけど、麻友さんのように、
♪その背中に、夢の翼(はね)が、生えてる
人達は、どんどん飛翔して、上から全体像をつかめ。
「そうだとすると、
と、なるわね」
結弦、次の2行、埋めてみろ。
結弦「こんなの、簡単」
じゃあ、若菜。最後の行。
若菜「はい。どっちかが◯なら◯を付けて良いんですね」
おお、できたな。
「これで、何をやりたかったの?」
若菜の
『 と、 が、なぜ同じなんですか?』
という問いに答えるのが、目標だった。
若菜、最後の行、埋めて、何か感じなかったか?
若菜「最後の行の、◯✕の並びが、 と、まったく同じです。だから、この2つを、同じとして良いんだと分かりました」
お母さんに似て、賢い子だ。
「じゃあ、問題が解決したところで、どんどん、進みましょ」
よしきた。
これは、注記の字が、ノートの向こうのページにまたがっているので、もう1ページ。
若菜「お父さんも、ここが、分からなかったようですね」
「2018年8月4日18時26分30秒に、『←まだ分かってなかったな』と、書き記してるわね。何が、分からなかったの?」
ブルバキが、ここで、 という『Rを成立させるxが存在する』という記号の定義を、分かりにくいやり方で、やってるんだ。2005年に読んだときも、分からなかったし、2006年も、2009年も、2012年も、2014年も、2015年も、2017年も、分からなかった。霧がかかったようになっていたのが、晴れたのは、2018年。
ちょっと、21時過ぎちゃって、眠いから、この続きは、明日書くね。
現在2019年6月21日21時12分である。中断。
現在2019年6月22日15時44分である。
今日は、本当は、11時頃から、書き始めていた。
「真偽表を入れるのに、苦労したのよね」
またひとつ、 の手法を、身につけた。
結弦「『Rを成立させるxが存在する』という記号の定義を、分かりにくいやりかたで、やっているって、そもそも、『Rを成立させるxが存在する』って、なんですか?」
この場合、Rは、 みたいな式なんだよ。
結弦「だったら、 とか、存在するから、Rを成立させるxが、存在するな」
若菜「そんなに、甘くないんじゃない?」
結弦「どういうこと?」
若菜「考える数が、整数だけだったりしたら?」
結弦「あっ、そうか」
結弦のようなことも含めて、 が、出てくると、論理学が、一気に難しくなる。
『』は、『 が成立するような が存在する』
という意味を、表すとする。そうなると、
『』
は、どういう意味だ?
結弦「 が存在して、 でない、が、成立しない」
若菜「つまり、 でなくなる が、存在しない。つまり、すべての で、 が、成立する」
「それを、 と、表す訳ね」
結弦「あっ、持ってかれた」
3人の合わせ技で、 の方も、分かったな。
ところで、ブルバキは、 という表し方で、満足しなかった。
結弦「どういうこと?」
という記号を、持ち出し、『』について、『』を満たす、『』が、ひとつでもあったら、そのような『』のひとつを、『』と、表すことにした。
「そのような『』のひとつって、どれかに、特定しないの?」
どれに、特定するかは、その場で決めることとなる。
ただ、1度特定したら、以後は、フラフラと変えたりはしない。
まあ、ここまでは、分かるんだ。
次が、分からない。
「どういう取り決め?」
『』を満たす、『』が、ひとつもなかったら、『』は何でも良い、何かひとつの対象を表すということに、しておく。
と、決めてるんだ。
若菜「何でも良いって、無責任じゃないですか」
そう。そこで、私も、良く分からなかった。でも、 が、出てくるのは、第4節からなので、分からないけど、取り敢えず写して、先に進むことにした。
若菜「気持ち悪くないですか?」
ただ、数学の文献で、気持ち悪いから、進めない、をやってると、ほとんどの文献が読めなくなる。
「でも、太郎さんは、ここに関して、2018年に、克服してるのよね」
うん。
ゆっくり考えよう。
まず、
が、成り立つとしよう。
つまり、 を満たす、 が、存在する。
そうすると、そういうものの1つを、 と、表せる。
ここで、ブルバキは、 の を、 で、置き換えることを、
と、表すと約束した。
つまり、 の中の、 を、全部、 で、置き換えたわけである。
そして、 を満たす、 の、ひとつを、 としたのであったから、
が、成り立っていることは、ある意味、今は、当然である。
式で書くと、
が、分かった。
今度は、逆に、 が、成り立っているとしよう。
を満たす、 が、なかったとしたら、 は、何でも良い、ひとつの対象ということになっていた。
何か、不都合なことが、起きるのではないか?
私も、ずっと気がかりだった。
だけど、
『 が、成り立っている』
ということは、 の に を代入したものが、成り立っているということなのだ。
「あっ、分かった。 の に代入して、成立するものが、ちゃんと、あるということなんだ。だから、・・・」
結弦「取り返そう。 ならば、 を満たす、 が、存在する。つまり、 なんだ」
若菜「まとめると、 が、証明されたのね」
この事実に鑑み、ブルバキは、
『 とは のことである』
と、定義する。
「あれっ、太郎さん。私達、分かっちゃったわよ」
若菜「お父さんが、『NKの要点』や、『BGの要点』で、言っている、選択公理云々は、関係ありませんでしたけど」
見かけ上、普通の記号論理学と、同値な様に、見えるんだ。
だけど、 を満たす のひとつを、 と表すことにすると言ってるけど、そんなものを、具体的に持ってこられるとは、限らないんだ。
結弦「具体的って?」
それは、ドラえもんのブログで、真理のカメさんを、導入するとき、身にしみて分かるよ。
あるものを、実際持ってこられるとは、そのものを与える、アルゴリズムを、示せるということに、なってくる」
「パソコンに詳しくない太郎さんが、アルゴリズムなんて、分かってるの?」
ほとんど、わかってないけど、意味は、合ってると思う。
結弦「いや、アルゴリズムというものについては、僕たちの方が、分かってる。真理のカメさんって、作るアルゴリズムが、ないのか」
若菜「私達は、幼稚園の頃から、プログラミングを、習った世代ですからね。お父さんやお母さんとは、勝負にならないんですよ」
「21世紀初頭に、小学生でパソコンオタクだった私でも、かなわないなんて」
さて、今、言ったことが、分かっていると、ノートが面白いように分かる。
「ちょっと待って、14ページの、かすれてるメモは?」
が常に偽なら、上の命題は真。2018.8.4 18:21:56
というもので、この部分を、まだ完全に理解してなかったときのものだ。
「15ページの復習というのは?」
」2017.12.22 14:06:00 復習
とあって、その日、ブルバキから離れるときのメモだ。
次のページは、ちょっと、読みにくい。
若菜「なんか、読者注)の中が、グチャグチャですけど」
これを、解きほぐすと、
読者注)
というのは、 という関係を成立させるような の1つを表すようだが、良く分からない.本文を読む時のお楽しみとしよう.
→分かった. について となる は となるよ、という当たり前のことを言い、 として、そういう性質を持つものを表させ、そうなる対象を として表したのだ.従って集合論では 以外の集合の1つだ. 2012.8.27 20:34
上の、空集合 から、線を引っ張って、さらに、次のように書いている。
以外の任意の集合というのは、 より、 が元を含むからである. 2012.8.27 22:57
若菜「ご本人にしか、復元できませんね」
実は、この部分。私は、テキスト本文に、次のように書き込んでる。
「lien というフランス語の単語の読み方ね。あっ、これ、電子辞書に積んだ、フランス語の辞書に、発音させたんでしょう」
それを、言いたかったんだ。
ちゃんと、役に立ってる。
最後は、記号の整理が、行われる。
最後のページと、これを、読み終わった感想のページ。
「あれっ、確か、この注意書きは、テキストで、4ページと、言ってたわね。でも、この後の『序』は、テキストで、8ページあると、書いてる。どんなものなのか、ちょっと、恐ろしいわね」
フランス語原著で、『序』を進めるのを、やめた理由が分かるでしょ。
若菜「初めは、これ全部、フランス語でやるつもりだったんですか?」
結弦「僕らでなくたって、無理だと分かるよな」
「太郎さんって、そういう無謀な人なの。だから、私に恋したりするの」
世界には、色んな人がいる。数学では、多様体は、manifold か variety なんだけど、小林りんさんが、提唱してるのは、diversity みたいだな。
多様な人がいた方が、非常事態が訪れた時、色々な解決策を、生み出せる。
ただ、万国共通な言葉、数学が、いやいや学ぶものであったとしたら、誰も、この試みに、賛同しないだろう。
『フーリエの冒険』レヴェルで、満足するのでなく、まともな数学を、体感したい人のために、このブルバキへの登頂はある。
「まともな数学って、今の太郎さんにとって、これなのね」
麻友さんには、楽をさせてあげるために、計算力を付けさせる。そのために、スマホで計算できるようなことは、どんどんやらせようと思う。
「私、それやらなきゃ、ダメ?」
初めから、拒否するのは、よくない。
まず、やってみてから。
「分かったわ。今日はもう、11,414文字になってる。おしまいにして」
はい。バイバイ。
「バイバイ」
現在2019年6月22日21時34分である。おしまい。