数学原論（その１０） - ブルバキとランダウ

　現在２０１９年６月２１日１８時４６分である。

「えっ、ブルバキ、連投？　『現代論理学』やってからじゃ、なかったの？」

　少し、強引に、進めないと、麻友さんが、面白いと思えるほどの、内容のある数学にならない。

若菜「女の人に、強引に迫るというのは、良くありませんが、数学に迫るなら、いいかもです」

結弦「本当に、面白いの？」

　まあ、読んでみなって。

　１ページ目。

結弦「この本に書いてあることをそのままの形で受け入れていくことが、結局は一番の近道であると思う。って、書いてあるよ。でも、それが唯一無二の方法であるわけでもなく、とか、どうなってるんだ？」

若菜「ああ、きっと、訳すときに、すごく困ったのでしょうね。こんなこと書いても、読者わからないだろうなって」

「太郎さんは、どうだったの？」

　この『第１章を読むための注意』を、テキストでは、４ページ、ノートで８ページ写して、その次にある、『序』に、１ページ入ったところで、２００５年の初登頂の試みは、ついえる。

「正直なところを、言って欲しいわ。これは、今の太郎さんに、説明できるの？」

　大丈夫だよ。

若菜「凄い自信ですね。２００５年には、これで、挫折したのに」

　私が、１回目、『序』で、挫折してから、何回アタックしたことか。

結弦「もうちょっと、ノートを見てみるか」

　よし。

結弦「以下に簡単に述べた解説は読む必要のないものでもあるし、また読まれたにしても、第１章を読まれるときには、もう一度はじめから出なおしということにしていただきたい、とか、とんでもないこと、言ってる」

　それだけ、ブルバキが、レヴェルが高いんだ。

「『第１章に論理的根拠を与えたものではない』という部分に太郎さんが、アンダーラインを引いて、何かメモしてるけど、読めないわ」

『つまり、意味論と同値であることを、証明したわけではないということ。　２０１８．８．４　１８：１０：２３』

と、メモしてる。

「太郎さん、読めるの？」

若菜「お父さんは、オリジナルのノートを、見てます」

結弦「当然だな」

「それで、意味論と同値って？」

　これから、『現代論理学』でやることは、『現代論理学』の第１章で、命題論理と呼ばれる、 ${\exists}$ （イグジスト）（存在する）という記号や、 ${\forall}$ （エニ）（任意の）という２つの記号のない、 ${A \Rightarrow B}$ や、 ${A \wedge B}$ などの記号だけの、論理学で、正しいか正しくないかを問題にせずに、形式的に、記号を意味を考えずに扱う立場、それを、構文論（syntax）というんだけど、その構文論ともうひとつ、意味を考える、意味論（semantics）というものがあるんだけど、その両方が、同じ結果を与えるということを、証明するんだ。

若菜「なんか、とんでもない、試みですね。そうすると、第２章では、 ${\exists}$ や、 ${\forall}$ が、加わった論理学でも、構文論と意味論が、同値になることを、証明しないと、気が済まないですね」

　良く分かったな。それを、第１階の述語論理という。

　その第１階の述語論理でも、構文論と意味論の同値性が、証明できる。記号論理学の、最初の華々しい成果だ。

　そのことを、『第１章を読むための注意』で、証明してあるわけではないから、ブルバキの第１章に書いてあることが、意味を考えても、正しいということを、証明して、ブルバキが正しいということの根拠を与えたわけではない、と訳者が言っているのだな、と、私が思ったということ。

「太郎さんが、思ったのか。その証明は、どこにあるの？」

　私が、読んだ限り、第１章にその証明はない。

若菜「それは、ブルバキとしたことが、片手落ちでは？」

　いや、数学で、意味論を論じなくても、許されることは、許されるんだ。『数学基礎概説』は、構文論だけしか、書いてない。私は、『現代論理学』を読むまで、意味論は、知らなかった。

結弦「お父さんの知っていることの、限界というのも、あるんだな」

　少し、進めてみよう。

「太郎さんの青いボールペンで、書いてあることは、何？」

　ああ、これは、どうでもいいことだ。

　句読点の句点を、打たなくて良いとか、言ってるだけだ。

「２０１４年にも、ここを、丁寧に読んでいるということね」

　元の字は、２００５年のものだから、私が、ＨのＨｉ－ｕｎｉの鉛筆で、書いたものだろう。２０１４年４月の青いボールペンは、入院する前だから、ゲルインキボールペンの青で、書いたものだろう。２０１８年のは、去年だから、麻友さんの下敷きを敷いて、この前、壊れちゃった、紺色のクルトガのシャーペンで、Ｈｉ－ｕｎｉのＦの芯で、書いたもののはずだ。

若菜「ｎｏｎって、フランス語ですか？」

　まあ、そうだけど、英語でも、『ノン-フィクション』とか、言うよね。

結弦「ｅｔ　は、かつ、ｏｕ　は、または、とか、かな？」

　数学は、言葉が少ないから、『数学原論』の本文に入ったら、フランス語の原書も、引用できるかも知れない。

　『星の王子さま』も、読めないけど、フランス語の数学の論文なら、読めると言っていた、数学者もいた。

若菜「 ${A \Rightarrow B}$ と、 ${(nonA) ou B}$ が、なぜ同じなんですか？」

　これは、結構、難しいんだ。

　真偽表というものを、書かないと、理解しにくい。

　まず、 ${A}$ と ${B}$ が、それぞれ、正しい（◯）か、正しくない（✕）かの、どちらかで、あるとしよう。

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc &&&&\\ \bigcirc & \times &&&&\\ \times & \bigcirc &&&&\\ \times & \times &&&&\\ \end{array}}$

という表の、 ${A}$ と ${B}$ が、それぞれ正しい（◯）か、正しくない（✕）のとき、表の右の空欄を、埋められるか？

結弦「 ${A \Rightarrow B}$ は、 ${A}$ が成り立てば、 ${B}$ が成り立つなんでしょ。だったら、 ${A}$ が成り立って、 ${B}$ も成り立ってる場合は、正しいことを言ってることになるから、 ${A \Rightarrow B}$ のすぐ下は、◯だ」

若菜「同じように考えると、 ${A}$ が成り立っているのに、 ${B}$ が成り立たない場合は、 ${A \Rightarrow B}$ は、正しくないことを言ってるので、✕ですね」

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc &&&\\ \bigcirc & \times & \times &&&\\ \times & \bigcirc &&&&\\ \times & \times &&&&\\ \end{array}}$

「ほらほら、こうなるのよ。私が、難しい問題を、解かされる。 ${A}$ が、成り立たない場合なんて、 ${A \Rightarrow B}$ は、どう考えればいいのよ。太郎さん」

　うん。特待生でも、解けないか。条件を、丁寧に、チェックする。 ${A \Rightarrow B}$ は、 ${A}$ が、成り立つ場合のことを、書いてる。だから、 ${A}$ が成り立たないなら、問題はなく、スルーできる。

「スルーするって、この場合、どうすること？」

　◯にするってこと。

「えっ、でも、✕の可能性は？」

　✕に、できないだろ。

「✕にできないから、◯にするって、いつもの太郎さんののんきな判断で、良いのかしら。他の論理学の本、見てみようかしら？」

　やめた方が良い。

　先日、相対性理論のブログの『プリン君のシャーペン』という投稿で、読んでいると書いた、『直観主義的集合論』

竹内外史『直観主義的集合論』（紀伊國屋書店）

OD>直観主義的集合論 (紀伊國屋数学叢書 20)

作者:竹内外史
紀伊國屋書店

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は、日本で唯一の、いや世界でも珍しい、直観主義的集合論の本で、そこでは、

『Ａが正しい』

ということを、

『Ａを確認する方法をもっている』

と、捉え直すことで、新しい数学を、作っている。

　だから、その本では、

${A \rightarrow B}$

は、

『Ａを確認する方法が与えられたときに，その方法をもとにしてＢを確認する方法を作る方法をもっている』

と定義される。

　思いっきり書いちゃうけど、

${(\neg A \vee B) \Longrightarrow (A \rightarrow B)}$

は、成立するけど、

${(A \rightarrow B) \Longrightarrow (\neg A \vee B)}$

は必ずしも成立しない。

「そうなると、どうなるの？」

　本当に、否定の否定が肯定にならない論理となる。

若菜「どうして、そんな本読んでたんですか？」

　自分のやっている数学が、本当に、真理を穿ったものだろうかと、ちょっと、心配だったんだ。

結弦「でも、数学自体が、矛盾するとか、そういうことは、ないんでしょ」

　おお、良いこと言うじゃないか。ブルバキは、数学自体が矛盾するということに対して、どういう意見だったか、『第１章を読むための注意』の後の、『序』の最後に、ブルバキの見解がある。

若菜「楽しみですね」

「さっきの ${\rightarrow}$ と、 ${\Longrightarrow}$ の違いは？」

　 ${\rightarrow}$ の方は、私達が、『現代論理学』を読んで行くときや、ＮＫとＢＧの要約の中の私の記述での ${\Rightarrow}$ と、同じ使われ方をしていて、 ${\Longrightarrow}$ の方は、 ${A \Longrightarrow B}$ が、正しいという主張のときだけ、使うのだと、竹内外史さんが、書いている。

「なんだ、太郎さんも、分かってないのか」

　完璧には、分かってない。

　いずれにせよ、排中律という、 ${A \vee \neg A}$ という ${A}$ か、または、その否定 ${\neg A}$ というものの、どちらかが成り立つと仮定しないと、数学は翼を持って、飛ぶことができない。

『翼はいらない』

という歌もあったけど、麻友さんのように、

♪その背中に、夢の翼（はね）が、生えてる

人達は、どんどん飛翔して、上から全体像をつかめ。

「そうだとすると、

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc &&&\\ \bigcirc & \times & \times &&&\\ \times & \bigcirc & \bigcirc &&&\\ \times & \times & \bigcirc &&&\\ \end{array}}$

と、なるわね」

　結弦、次の２行、埋めてみろ。

結弦「こんなの、簡単」

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc &\\ \bigcirc & \times & \times & \times & \times &\\ \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc &\\ \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times &\\ \end{array}}$

　じゃあ、若菜。最後の行。

若菜「はい。どっちかが◯なら◯を付けて良いんですね」

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \times & \times & \times & \times \\ \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\ \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc \\ \end{array}}$

　おお、できたな。

「これで、何をやりたかったの？」

　若菜の

『 ${A \Rightarrow B}$ と、 ${(nonA) ou B}$ が、なぜ同じなんですか？』

という問いに答えるのが、目標だった。

　若菜、最後の行、埋めて、何か感じなかったか？

若菜「最後の行の、◯✕の並びが、 ${A \Rightarrow B}$ と、まったく同じです。だから、この２つを、同じとして良いんだと分かりました」

　お母さんに似て、賢い子だ。

「じゃあ、問題が解決したところで、どんどん、進みましょ」

　よしきた。

　これは、注記の字が、ノートの向こうのページにまたがっているので、もう１ページ。

若菜「お父さんも、ここが、分からなかったようですね」

「２０１８年８月４日１８時２６分３０秒に、『←まだ分かってなかったな』と、書き記してるわね。何が、分からなかったの？」

　ブルバキが、ここで、 ${(\exists x)R}$ という『Ｒを成立させるｘが存在する』という記号の定義を、分かりにくいやり方で、やってるんだ。２００５年に読んだときも、分からなかったし、２００６年も、２００９年も、２０１２年も、２０１４年も、２０１５年も、２０１７年も、分からなかった。霧がかかったようになっていたのが、晴れたのは、２０１８年。

　ちょっと、２１時過ぎちゃって、眠いから、この続きは、明日書くね。

　現在２０１９年６月２１日２１時１２分である。中断。

　現在２０１９年６月２２日１５時４４分である。

　今日は、本当は、１１時頃から、書き始めていた。

「真偽表を入れるのに、苦労したのよね」

　またひとつ、 ${\TeX}$ の手法を、身につけた。

結弦「『Ｒを成立させるｘが存在する』という記号の定義を、分かりにくいやりかたで、やっているって、そもそも、『Ｒを成立させるｘが存在する』って、なんですか？」

　この場合、Ｒは、 ${(x>0) \wedge (x<1)}$ みたいな式なんだよ。

結弦「だったら、 ${0.5}$ とか、存在するから、Ｒを成立させるｘが、存在するな」

若菜「そんなに、甘くないんじゃない？」

結弦「どういうこと？」

若菜「考える数が、整数だけだったりしたら？」

結弦「あっ、そうか」

　結弦のようなことも含めて、 ${\exists}$ が、出てくると、論理学が、一気に難しくなる。

　『 ${(\exists x)R}$ 』は、『 ${R}$ が成立するような ${x}$ が存在する』

という意味を、表すとする。そうなると、

『 ${non((\exists x)non R)}$ 』

は、どういう意味だ？

結弦「 ${x}$ が存在して、 ${R}$ でない、が、成立しない」

若菜「つまり、 ${R}$ でなくなる ${x}$ が、存在しない。つまり、すべての ${x}$ で、 ${R}$ が、成立する」

「それを、 ${(\forall x)R}$ と、表す訳ね」

結弦「あっ、持ってかれた」

　３人の合わせ技で、 ${\forall}$ の方も、分かったな。

　ところで、ブルバキは、 ${(\exists x)R}$ という表し方で、満足しなかった。

結弦「どういうこと？」

　 ${\tau}$ という記号を、持ち出し、『 ${R}$ 』について、『 ${R}$ 』を満たす、『 ${x}$ 』が、ひとつでもあったら、そのような『 ${x}$ 』のひとつを、『 ${\tau_x R}$ 』と、表すことにした。

「そのような『 ${x}$ 』のひとつって、どれかに、特定しないの？」

　どれに、特定するかは、その場で決めることとなる。

　ただ、１度特定したら、以後は、フラフラと変えたりはしない。

　まあ、ここまでは、分かるんだ。

　次が、分からない。

「どういう取り決め？」

　『 ${R}$ 』を満たす、『 ${x}$ 』が、ひとつもなかったら、『 ${\tau_x R}$ 』は何でも良い、何かひとつの対象を表すということに、しておく。

と、決めてるんだ。

若菜「何でも良いって、無責任じゃないですか」

　そう。そこで、私も、良く分からなかった。でも、 ${\exists}$ が、出てくるのは、第４節からなので、分からないけど、取り敢えず写して、先に進むことにした。

若菜「気持ち悪くないですか？」

　ただ、数学の文献で、気持ち悪いから、進めない、をやってると、ほとんどの文献が読めなくなる。

「でも、太郎さんは、ここに関して、２０１８年に、克服してるのよね」

　うん。

　ゆっくり考えよう。

　まず、

${(\exists x)R}$

が、成り立つとしよう。

　つまり、 ${R}$ を満たす、 ${x}$ が、存在する。

　そうすると、そういうものの１つを、 ${\tau_x R}$ と、表せる。

　ここで、ブルバキは、 ${R}$ の ${x}$ を、 ${\tau_x R}$ で、置き換えることを、

${(\tau_x R|x) R}$

と、表すと約束した。

　つまり、 ${R}$ の中の、 ${x}$ を、全部、 ${\tau_x R}$ で、置き換えたわけである。

　そして、 ${R}$ を満たす、 ${x}$ の、ひとつを、 ${\tau_x R}$ としたのであったから、

${(\tau_x R|x) R}$

が、成り立っていることは、ある意味、今は、当然である。

　式で書くと、

${(\exists x)R \Rightarrow (\tau_x R|x) R}$

が、分かった。

　今度は、逆に、 ${(\tau_x R|x) R}$ が、成り立っているとしよう。

　 ${R}$ を満たす、 ${x}$ が、なかったとしたら、 ${\tau_x R}$ は、何でも良い、ひとつの対象ということになっていた。

　何か、不都合なことが、起きるのではないか？

　私も、ずっと気がかりだった。

　だけど、

『 ${(\tau_x R|x) R}$ が、成り立っている』

ということは、 ${R}$ の ${x}$ に ${\tau_x R}$ を代入したものが、成り立っているということなのだ。

「あっ、分かった。 ${R}$ の ${x}$ に代入して、成立するものが、ちゃんと、あるということなんだ。だから、・・・」

結弦「取り返そう。 ${(\tau_x R|x) R}$ ならば、 ${R}$ を満たす、 ${x}$ が、存在する。つまり、 ${(\exists x)R}$ なんだ」

若菜「まとめると、 ${(\exists x)R \Longleftrightarrow (\tau_x R|x) R}$ が、証明されたのね」

　この事実に鑑み、ブルバキは、

『 ${(\exists x)R}$ とは ${(\tau_x R|x) R}$ のことである』

と、定義する。

「あれっ、太郎さん。私達、分かっちゃったわよ」

若菜「お父さんが、『ＮＫの要点』や、『ＢＧの要点』で、言っている、選択公理云々は、関係ありませんでしたけど」

　見かけ上、普通の記号論理学と、同値な様に、見えるんだ。

　だけど、 ${R}$ を満たす ${x}$ のひとつを、 ${\tau_x R}$ と表すことにすると言ってるけど、そんなものを、具体的に持ってこられるとは、限らないんだ。

結弦「具体的って？」

　それは、ドラえもんのブログで、真理のカメさんを、導入するとき、身にしみて分かるよ。

　あるものを、実際持ってこられるとは、そのものを与える、アルゴリズムを、示せるということに、なってくる」

「パソコンに詳しくない太郎さんが、アルゴリズムなんて、分かってるの？」

　ほとんど、わかってないけど、意味は、合ってると思う。

結弦「いや、アルゴリズムというものについては、僕たちの方が、分かってる。真理のカメさんって、作るアルゴリズムが、ないのか」

若菜「私達は、幼稚園の頃から、プログラミングを、習った世代ですからね。お父さんやお母さんとは、勝負にならないんですよ」

「２１世紀初頭に、小学生でパソコンオタクだった私でも、かなわないなんて」

　さて、今、言ったことが、分かっていると、ノートが面白いように分かる。

「ちょっと待って、１４ページの、かすれてるメモは？」

　 ${(T|x)R}$ が常に偽なら、上の命題は真。２０１８．８．４　１８：２１：５６

というもので、この部分を、まだ完全に理解してなかったときのものだ。

「１５ページの復習というのは？」

　」２０１７．１２．２２　１４：０６：００　復習

とあって、その日、ブルバキから離れるときのメモだ。

　次のページは、ちょっと、読みにくい。

若菜「なんか、読者注）の中が、グチャグチャですけど」

　これを、解きほぐすと、

　読者注）

　 ${\tau_y \{\tau_x(x \in y) \in y \}}$ というのは、 ${x \in y}$ という関係を成立させるような ${y}$ の１つを表すようだが、良く分からない．本文を読む時のお楽しみとしよう．

→分かった． ${y}$ について ${x \in y}$ となる ${x}$ は ${\in y}$ となるよ、という当たり前のことを言い、 ${y}$ として、そういう性質を持つものを表させ、そうなる対象を ${\tau_y}$ として表したのだ．従って集合論では ${\emptyset}$ 以外の集合の１つだ．　２０１２．８．２７　２０：３４